Скубак Лия Павловна - учитель математики школы №3, до этого много лет работала в школе 4 города Орла. Лия Павловна - Отличник народного просвещения и Отличник просвещения СССР. Она очень опытный педагог, декан факультета математики и информатики городской Малой академии. В каждом ученике Лия Павловна умеет найти что-то хорошее.

Решение задач с использованием формулы сложных процентов.

  1. Проценты, начисленные на величины, полученные в результате начисления процентов, называются сложными.

    2. Пусть некоторая переменная величина А в начальный момент имеет значение А0, когда она увеличилась на р%, то стала равна А1;. Найдём это значение.

    А0 - 100% А0 : А1 = 100: (100 + р)

    А1 - (100 + р)%

    А1 = А0 (1+р/100)

    Если же величина несколько раз изменилась на одно и тоже число %, то её значение вычисляется через n изменений по формуле “сложных процентов”.

  2. А1 = А0 (1+р/100)n

Если изменение происходит на разное число процентов, то формула выглядит так:

Аn = А0 (1+р1/100) (1+р2/100)…. (1+рn/100)

Если изменение происходит на разное число процентов, то формула выглядит так:

An=A0(1+p1/100)(1+p2/100)…(1+pn/100)

Примеры задач, решаемыех по этой формуле:

1)Зарплату рабочему повысить сначала на 10% , а через год еще на 20%. На сколько процентов повысилась зарплатарабочего посравнению с первоначальной?

Решение.

Т.к. здесь проценты находятся от величины , полученной от начисления процентов, то можно применить формулу сложных процентов:

Пусть A0=1, то

A2=1*(1+1,1)(1+0,2)=1,32 или

A2=1*(1-X/100) (100-X)/100=1,32 ; 100-X=132

X=32%

Ответ : на 32%

2) Цену на товар снизили на 10%, а через месяц повысили на 10%.

Дороже или дешевле стал товар по сравнению с начальной ценой?

Решение

Пусть х - цена начальная , то, применяя формулу сложных %,имеем:

А2=Х(1-0,1)(1+0,1)=0,9*1,1Х=0,99Х

0,99/х*100%=99%, т.е. дешевле на 1%.

3) Саша за весну похудел на 20%, за лето поправился на 30%, за осень похудел на 20%, за зиму поправился на 10%. Как изменился его вес?

Решение

Если задачу решать обычным путем – с помощью уравнения, то решение будет очень длинным. Применяем формулу сложных %:

Пусть А 0=1, то

А4=1(1-0,2)(1+0,3)(1-0,2)(1+0,1) или А4=1(1-х/100)

А4=0,9152 и уравнение : 100-х=0,9152*100

Х=8,48

Ответом: похудел на 8,48%.

4) влажность воздуха к полудню по сравнению с утренней снизилась на 12%, а затем повысилась на 5%, по сравнению с полуднем.Сколько процентов от утренней влажности составляет влажность воздуха к вечеру и на сколько процентов она снизилась?

Решение:

По формуле сложных процентов получаем уравнение :

(100-X)/100=1*(1-0,12)(1-0,05)

100-X=0,088*0,95*100

100-X=83,6

X=16,4

Ответ: снизилась на 16,4%, составляет 83,6%

5) В сберкассу положили положить в начале года а рублей под 3% годовых.Сколько рублей будет положено через N лет?

An=a*(1+0,03)

6) Выпуск продукции завода за 4 года увеличился в 4 раза. На сколько процентов в среднем увеличивался выпуск продукции за каждый год по сравнению с предыдущим годом?

Решение:

Пусть X-искомое число процентов, тогда

(1+(x/100))4=4

из уравнения x=41%

7) за 3 года население города увеличилось с 2000000 до 2315250 человек. Найти средний годовой процент прироста населения.

Решение:

1 Применив формулу “Сложных процентов”, получаем:

решение

2315250 = 2000000 (1 + Р/100)3

из ур-ния имеем:

Р = 100 (3√(2315250/2000000) - 1)

P=5%

Ответ: Р=5%

8. Деньги, вложенные в акции фирмы, приносят ежемесячно 20% дохода.

За сколько месяцев вложенная сумма удвоился?

Решение

Аn = 1*(1+0.2)n

1.2n = 2

n = 4

Ответ: За 4 месяча.

9 В автоинспекции города подсчитали, что число легковых автомобилей

увеличилось за последние годы на 15% ежегодно. Во сколько раз

увеличилось число автомобилей за 5 лет.

Решение

А 5 = 1*(1+0.15)5

А5 = 1.155

Т.е. примерно в два раза.

Ответ: в 2 раза.

Hosted by uCoz